Déterminer une équation cartésienne d'un plan 2

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

On donne les points \(\text A(-1~;~0~;~2)\) , \(\text B(1~;~4~;~0)\) et \(\text C(3~;-4~;-2)\) .

1. Démontrer que   \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\)  définissent un plan \(P\) .

2. a. Démontrer que le vecteur \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\) est normal au plan \(P\) .
    b. En déduire une équation cartésienne de \(P\) .

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé  \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .

Les points \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) ont pour coordonnées \(\text A(1~;-2~;~4)\) , \(\text B(-2~;-6~;~5)\) et \(\text C(-4~;~0~;-3)\) .

1. Démontrer que les points   \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) ne sont pas alignés.

2. On note alors \(P\) le plan \(\mathrm{(ABC)}\) .
    a. Déterminer un vecteur normal au plan \(P\) .
    b. En déduire une équation cartésienne de \(P\) .